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第十一章（三角形）
一、三角形的基本概念（定义、表示及分类）
1.三角形的概念：
如图，由同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.
“三角形” 用符号“” 表示，顶点是的三角形记作“” ，读作“三角形”
三角形的三个顶点：如图所示，分别是点A，点B，点C.
三角形的边：如图所示，分别是AB，AC，BC，也可以用a，b，c表示.
点A所对的边记作a，点B所对的边记作b，点C所对的边记作c.
内角：如图所示，分别是∠A，∠B，∠C.
∠A的对边叫做BC，∠B的对边叫做AC，∠C的对边叫做AB.
归纳1：三角形有下面三个特性：
①三角形有三条线段；②三条线段不在同一条直线上；③首尾顺次连接．
以上三点表明三角形是封闭图形，如图 就不是三角形．
归纳2：构成三角形的6个基本元素：三个内角和三条边.
2.三角形的分类
①三角形按边的关系可以如下分类：
②三角形按角的关系可以如下分类：
3.三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．三角形的这个性质在生产和生活中应用很广，需要稳定的东西都制成三角形的形状．
二、与三角形相关的线段（自身本有的三边关系、三条重要的线段）
1.三角形的三边关系定理及推论
三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．（根据两点之间线段最短可得）
推论：三角形两边之差小于第三边．
三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形．②当已知两边时，可确定第三边的范围．③证明线段不等关系.
数学符号表达如下：（三角形的三边性质）
(两边之和大于第三边） （两边之差小于第三边）
归纳：只要满足：或或，就能判断a，b，c能组成三角形.
（注意：线段相减时用长减短，如不能判断请分类讨论）
2.三角形的三条重要线段
A．三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
注意：①是一个三角形有三条角平分线，并且相交于三角形内部一点，我们把这一点叫做三角形的内心；
②是三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线.
B.在三角形中，连结一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．
注意：①一个三角形有三条中线，并且相交于三角形内部一点,我们把这个点叫做三角形的重心；
②三角形的重心把中线的长度按2:1的比例分开.
C.从三角形一个顶点向它对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)．
注意：①三角形的高是线段，而垂线是直线．②锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形的两条高在外部，一条高在内部.
三、与三角形有关的角（内角和定理，外角及外角的两条性质）
1.三角形的内角和定理及推论
①三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.
几何语言：∠A+∠ABC+∠C=180°
②推论：直角三角形的两个锐角互余.
几何语言：在Rt△ABC中，∠A=90°，∴∠C+∠ABC=90°
2.三角形的外角及其性质：
外角：三角形的一边及其临边的延长线组成的角叫做三角形的外角.如∠ABD
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
几何语言：∵∠ABD是△ABC的一个外角，∴∠ABD=∠A+∠C
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
几何语言：∵∠ABD是△ABC的一个外角，∴∠ABD>∠A，∠ABD>∠C
四、三角形的面积
三角形的面积＝×底×高
五、多边形（三角形是最简单的多边形）
1.定义：由一些线段首尾顺次相连组成的封闭的图形 2.多边形的边、内角、外角
3.正多边形的概念：所有边相等，所有角相等 4.凸多边形、凹多边形的概念 5.镶嵌（铺地板砖）
6.多边形对角线的条数和内角和外角和公式（重点）
①n边形，从一个顶点出发，有（n-3）条对角线，把多边形分成了（n-2）个三角形.
②n边形，从所有顶点出发（即多边形的所有对角线），有条对角线.
③多边形的内角和公式：
④多边形的外角和：任何多边形的外角和都为360°.
(注意：每个顶点处有两个外角，他们互为对顶角，在研究外角和时，每顶点处只取一个外角做研究)
