二元一次方程组解法

二元一次方程解法:
二元一次方程有无数个解，除非题目中有特殊条件。
一、消元法
“消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
如:5x+6y=7 2x+3y=4,变为5x+6y=7 4x+6y=8
消元方法：
代入消元法(常用）
加减消元法（常用）
顺序消元法（这种方法不常用）
例：
x-y=3 ①
｛
3x-8y=4②
由①得x=y+3③
③代入②得
3（y+3)-8y=4
y=1
所以x=4
则：这个二元一次方程组的解
x=4
｛
y=1

(一)加减-代入混合使用的方法.
例：
13x+14y=41 ①
｛
14x+13y=40②
②-①得
x-y=-1
x=y-1 ③
把③代入①得
13(y-1)+14y=41
13y-13+14y=41
27y=54
y=2
把y=2代入③得
x=1
所以:x=1,y=2
最后 x=1 ，y=2， 解出来
特点：两方程相加减，得到单个x或单个y，适用接下来的代入消元。

(二)代入法
是二元一次方程的另一种方法，就是说把一个方程带入另一个方程中
如：
x+y=590
y+20=90%x
带入后就是：
x+90%x-20=590
(x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
m+n=8
m-n=4
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式（x+5，y-4），换元后可简化方程。

（三）另类换元
例：
x:y=1:4①
5x+6y=29②
令x=t,y=4t
方程2可写为：5t+24t=29
29t=29
t=1
所以x=1,y=4

二、换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
如：
(x+y)/2-(x-y)/3=6
3(x+y)=4(x-y)
解：
设x+y为a,x-y为b
原=a/2-b/3=6①
3a=4b②
①×6 得3a-2b=36③
把②代入③ 得2b=36 b=18
把b=18代入②得a=24
所以x+y=24④
x-y=18⑤
④-⑤得 2y=6 y=3
把y=3代入④得 x=21
x=21，y=3
是方程组的解

整体代入
如：
2x+5y=15①
85-7y=2x②
解：把②代入①得
85-7y+5y=15
-2y=-70
y=35
把y=35代入②
得x=-80
x=-80，y=35
是方程组的解