平行四边形的判定

(1)方法1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形(用定义判定)。

平行四边形的定义是判断平行四边形的根本方法,也是其他判定方法的基础。

(2)方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

如图1,连接BD,由AD=BC,AB=CD,可证△ABD≌△CDB,得到AB∥CD,AD∥BC.由定义得到四边形ABCD为平行四边形。

 

其推理形式为:如图1，∵AB=DC,AD=BC

∴四边形ABCD是平行四边形。

(3)方法3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

如图1,由∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°,可得∠ABC+∠BCD=180°∠BAD+∠ABC=180°从而得到AB∥DC,AD∥BC.由定义得到四边形ABCD为平行四边形。

其推理形式为:如图1,∵∠A=∠C，∠ABC=∠ADC

∴四边形ABCD是平行四边形。

(4)方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

其推理形式为:如图2. ∵0A=OC. OB=OD

∴四边形ABCD是平行四边形.

 

(5)方法5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

其推理形式为:如图2，∵AD∥BC，AD=BC

∴四边形ABCD是平行四边形

该判定方法也由两个要素决定：(1)AD∥BC(位置关系)，(2)AD=BC(数量关系)。

典例   （中考）如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ）

 

1.  AB=DC，AD=BC       B.  AB∥DC，AD∥BC
2.  AB∥DC，AD=BC      D.  AB∥DC，AB=DC

解析：根据平行四边形的判定方法，ABD均可判定四边形ABCD是平行四边形，C不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选C。

答案：C

【平行四边形判定方法的选择】

已知条件		选择的判定方法
边	一组对边相等	方法2或方法5
	一组对边平行	方法1或方法5
角	一组对角相等	方法3
对角线互相平分		方法4

【三角形的中位线】

(1)三角形的中位线的定义

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

点拨  三角形的中位线共有三条。三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同：中位线是中点与中点的连线，中线是顶点与对边中点的连线。

(2)三角形中位线定理

三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

 

如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点。则DE∥BC,且DE=1/2 BC

点拨   三角形中位线定理的作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系。

典例  (中考)加图,在AB中F分别是AB，AC的中点，若中位线EF=2cm，则BC边的长是（   ）

 

1. 1cm       B. 2cm        C. 3cm       D. 4cm

解析：∵EF是△ABC的中位线，

∴BC=2EF=2×2=4(cm)

答案：D